勾股定理：面积拼图与证明

把直角两侧的边标为 a、b，把直角对面的边标为 c。即使图形旋转，斜边的身份也不会改变：它不是“画面里斜着的边”，而是直角对面的最长边。求距离之前先检查这个条件，比急着代入公式更重要。

平方有明确的几何意义。边长为 3 厘米的正方形，面积为 9 平方厘米；所以等式两边首先是面积。只有在最后开平方时，结果才回到长度。边长可以是小数或无理数，不要求三边都是整数。

取四个直角边为 a、b 的全等三角形，放进边长为 a + b 的大正方形，让直角位于外框四角、斜边朝向中央。中央留下四边长均为 c 的四边形。设原三角形的两个锐角为 α 和 β，因为 α + β = 90°，中央的每个角为 180° - α - β = 90°。这才证明中央是正方形，而不只是一个四边等长的菱形。

保持外框与四块三角形不变，重新排列后，空白区域可以成为边长分别为 a、b 的两个正方形。外框面积没有变，移走的四块面积也没有变，剩余面积必然相等，于是 c² = a² + b²。

不依赖第二种排列，也能直接核对：外框面积是 (a + b)²，每块三角形面积是 ab/2，中央面积便是 (a + b)² - 4 × ab/2 = a² + b²。整个推导没有预先使用斜边的数值，因此不是把待证结论放进前提的循环论证。

一块长方形面板长 4 分米、宽 3 分米，对角线把它分成两个直角三角形。设对角线为 c，则 c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以 c = 5 分米。长度取正值，不取负的平方根。

反过来，已知斜边为 5、一直角边为 3，另一条直角边应由 b² = 5² - 3² = 16 求出，得到 b = 4。这里要做减法，因为已知的 25 是总面积；不能把所有已知边的平方一律相加。

平面上两点 A = (2, 1)、B = (8, 9) 的水平距离为 6，竖直距离为 8。这两个方向互相垂直，因此连线长度为 √(6² + 8²) = 10。一般地，在尺度一致且坐标轴垂直的欧氏坐标系中，d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。平方会消除坐标差的正负号，但不能消除单位不一致的问题。

逆定理从边长判断角度。若某三角形的最长边 c 满足 c² = a² + b²，可另作直角边为 a、b 的直角三角形。由勾股定理，新三角形斜边也为 c。两者三边对应相等，所以全等，原三角形中 c 的对角必为直角。

若所有边长放大两倍，三个正方形的面积都会放大四倍，等式仍成立。若两条直角边均为 1，斜边则是 √2。这说明勾股定理既不依赖图形大小，也不要求答案为整数。

几个数值满足公式，不等于证明所有情况；真正使结论普遍成立的是全等拼块与面积守恒。数值计算中的舍入误差不是定理本身的误差。真实面板可能不方正，测量也有误差，应先确认几何模型，不能仅凭测得的三边接近 3、4、5 就宣称它绝对垂直。

若夹角不是直角，不能照搬勾股定理。边长均为 2 的等边三角形就是反例：2² + 2² 为 8，第三边平方却为 4。更一般的关系是余弦定理 c² = a² + b² - 2ab cos C，其中 C 为 a、b 的夹角。只有 C = 90°，余弦项才为零。

这里讨论欧氏平面中的直线距离，不直接适用于球面上的长距离路线。使用公式前，应核对空间模型、直角条件和单位；这些条件与公式本身同样重要。